【随机接触模型】建模的【加密货币价格模型】中的【多尺度】【复杂】【波动】【行为】
作者：Zhiyong Zheng, Yunfan Lu, Junhuan Zhang
文章：Multiscale complexity fluctuation behaviours of stochastic interacting cryptocurrency price model

问题背景

加密货币市场的波动已经开始能世界范围内影响各地的投资市场了。

关键引用

C. Baek, M. Elbeck, Bitcoins as an investment or speculative vehicle? A first look, Appl. Econ. Lett. 22 (1) (2015) 30–34 - “Bitcoin market returns are mostly internally driven by market participants”, which means the extreme volatility of cryptocurrencies could be only caused by the panic and fear of investors theoretically - 比特币市场的收益的波动，大部分都是被市场参与者从内部所驱动的。这也就说明加密货币市场中价格的极端波动，理论上是因为投资者的集体性恐慌。

随机接触传染模型

模型假设：

受到感染的个体将会依据速率为$\lambda$的泊松过程，向其左右邻扩散病毒。
一个健康个体在接触到邻舍传来的病毒时，会立刻转变为被感染状态，并且向左右邻扩散病毒。通过在分布$F$中随机采样得到一个时间$f$，经过$f$单位时间后，此人获得免疫。
免疫了的人将不再收到相同病毒的感染。
病毒的传播过程以及感染周期的随机过程之间两两独立。

模型过程

状态空间：$\{1, i, 0\}^{\mathbb{Z}}$， $\mathbb{Z} \times \mathbb{R}_{+}$代表传播链长度，其中：

1表示健康
0表示免疫
$i$表示染疫
对每对满足$|x-\tilde{x}|=1(x, \tilde{x} \in \mathbb{Z})$链条节点$(x, \tilde{x})$，建立两个相互独立的泊松过程：
$\left\{U_n^{(x, \tilde{x})}, n \geq 1\right\}$，用来描述$x$单向感染$\tilde{x}$的时间节点，速率为$\lambda$
$\left\{T_n^{(x)}, n \geq 1\right\}$，用来描述病患$x$自染疫到痊愈并免疫的时间周期长度，速率为$v$

参数对齐

0号病患占比$p_0=0.01$
康复免疫泊松过程的速率为$v=1$

迁移到价格模型

利用随机接触模型的传染过程，模拟信息在不同的加密货币市场投资人之间的传递、并改变投资人投资策略的过程。
利用两个不同的泊松过程，模拟市场宏观中可能因为地缘政治、社会、自然环境等外因而导致的价格疾剧波动，两个泊松过程分别模拟市场价格的暴增、暴跌。

假设

虚拟货币的价格变化源于投资者对于加密货币交易市场的态度。
态度会如同病毒一样在投资者之间传播，使得其他人的决策产生变动。
投资态度只有三种：买入、卖出、观望。
以上投资者投资态度的加和表征了市场价格的羊群行为及其倾向性。
投资者每天可以交易数次，但一次最多只能交易一个单位的虚拟货币。

模型组件名称缩写

时间

日期（天）$t \in\{1,2, \cdots, T\}$
每日交易时长$l$

价格

虚拟货币在第$t$天的$s$时刻的价格：$\mathscr{P}_t(s)$，$s \in[0, l]$

参与者

加密货币市场的参与人数：$M+1$，$M$足够大
单个参与者在模型网格中的相对坐标系：$\{-M / 2, \ldots,-1,0,1, \ldots, M / 2\} \subset \mathbb{Z}$
参与者被分为三类：

“感染者”$type-inf$，
“未感染者”$type-sus$，
“免疫者”$type-imm$
交易态度：$\zeta(t)$ with values $\{1,-1,0\}$
1: 买，概率$p_{\zeta(t)=1}$
0: 观望，概率$1-p_{\zeta(t)=1}-q_{\zeta(t)=-1}$
-1: 卖，概率$q_{\zeta(t)=-1}$

机制

在每一个交易日$d \in t$
根据概率分布$\mathbb{G}$随机选取几个智能体成为感染者，剩下的都是未感染者。
所有的感染者的投资态度一致。

所有感染者都声称自己有市场内幕消息
未感染者都没有收到信息
免疫者觉得当前这个信息是扯淡

收益

$r_t=\ln \mathscr{P}_t-\ln \mathscr{P}_{t-1}, \quad t \in\{1,2, \ldots, T\}$

t时刻的收益，等于ln（当前时刻价格）减去ln（上一时刻价格）

收盘价格曲线说明：

加密货币市场的收盘价格剧烈波动，繁荣与萧条都很难长期维持
价格变化较大
盈利曲线说明：
加密货币市场相当不稳定

BCH，BTC，ETH，LTC，XRP是加密货币的价格，DJI，SSE分别是两支股票的价格
表中可以得知：
论据： 表中几个加密货币价格的标准差大于两个股票的价格
结论：
加密货币市场的波动变化比实际股票市场的波动更激烈。

论据： BCH的$\alpha_{r^+} < \alpha_{r^-}$，亏损的肥尾指数大于盈利的
结论：
炒BCH出现极端亏损的情况更为频繁

刻画了5种加密货币收益的数字分布特征。
在a的x-linear y-log的刻画中，几个加密货币几乎都是关于0点对称的钟形曲线
论据： 加密货币偏度(skewness)的数据都是负数
结论：收益向左扩散，加密货币市场具备收益的fat-tail效应

KS, AD, JB测试的关键值分别是0.041， 0.7514， 5.9377
论据： 几种加密货币的关键值和这三种测试的关键值相去甚远

结论：
这种加密货币在假设检验$H=1$， significan level是5%的时候，不服从于高斯分布。

智能体的决策聚合

$\mathscr{A}_t(s)=\left(\zeta_t\left|\sum \eta_s^\rho\right|\right) /(M+1)$

价格

$\mathscr{P}_t^{\text {common }}=\mathscr{P}_{t-1}^{\text {common }} \exp \left\{\gamma \mathscr{A}_t(l)\right\}, \quad t \in\{1,2, \ldots, T\}$

金融市场的价格

$\mathscr{P}_t=\mathscr{P}_0 \exp \left\{\sum_{k=1}^t \gamma \mathscr{A}_k(l)+\beta_1 \sum_{j=1}^{\xi_t^1}\left|\mathscr{B}^1\left(\varpi_j\right)\right|-\beta_2 \sum_{k=1}^{\xi_t^2}\left|\mathscr{B}^2\left(\varpi_k\right)\right|\right\}, \quad t \in\{1,2, \ldots, T\}$

解释：
每个投资人的微观决策聚合+宏观市场的涨跌=加密货币的实际价格

参数对齐

交易日数：$T=1000$
交易参与人数：$M=1000$
感染过程速率：$\lambda=9, 10, 11, 12, 13$

Composite Multiscale Fuzzy Entropy复合多尺度模糊熵

CMFE
本质上就是对各种长度的采样方法，遍历时间序列的各种组合形式.

引入目的

对比衡量生成数据与真实数据背后的决策行为复杂度，以此证明该方法成功模拟了现实加密货币市场的复杂性。

模型

模糊熵

计算过程

第一步：进行时间序列嵌入向量
目标：时间序列数据$\{x(i): 1 \leq i \leq N\}$，时序长度为$N$
嵌入向量表示方法：

$X_m(i)=\{x(i), x(i+1), \ldots, x(i+m-1)\}-\bar{x}(i)$

在$i$时刻的$m$号嵌入$X_m(i)$就是：
从$i$时刻开始，向后一共提取连续的$m$个时序数据，组成一个集合，再将集合中的所有元素减去它们的均值，以做到均一化。

    - 均值计算：$\bar{x}(i)=\frac{1}{m} \sum_{k=0}^{m-1} x(i+k)$
    - $i$的选择范围不能让这个嵌入的取值超过本身的时序长度限制$N$: $1 \leq i \leq N-m+1$

第二步：经过模糊公式，计算两个向量之间的相似度
对两个向量的要求：两个向量的长度一致，也即$m$一样

嵌入向量间的模糊公式计算：

$D_{i j}^m=\mu\left(d_{i j}^m, \zeta, r\right)=e^{-\left(\frac{d_{i j}^m}{r}\right)^\zeta}$

其中：

$\begin{aligned} d_{i j}^m &=d\left[X_i^m, X_j^m\right] \\ &=\max \{|x(i+k)-\bar{x}(i)-(x(j+k)-\bar{x}(j))|\end{aligned}$ 最大的波动幅度差
$\zeta$是选择幂（chosen power），是一个超参数（？）
$r$是相似容忍限度(tolerance level），应该也是个超参数（？）

直观解释:
针对两个嵌入向量，从$i$时刻或$j$时刻起始，一步一步加大步长，寻找两个向量之间最大波动幅度差。

第三步：全局定义一个概率分布，用来刻画两对向量间相似程度相同的现象频次
相似度出现频率统计公式：

$\Psi^m(r)=\frac{1}{N-m} \sum_{i=1}^{N-m}\left(\frac{1}{N-m-1} \sum_{j=1, j \neq i}^{N-m} D_{i j}^m\right)$

给定一个区间长度$m$，给定一个容忍度$r$，计算出现频次$\Psi^m(r)$

直观理解:
其实就是两个for循环，对所有可能的i和j进行遍历，然后再对它取平均，加和了$\chi$次就除以$\chi$求取均值。
第四步：重复上述三个步骤，直到遍历完成

$\Psi^{m+1}(r)=\frac{1}{N-m-1} \sum_{i=1}^{N-m-1}\left(\frac{1}{N-m-2} \sum_{j=1, j \neq i}^{N-m-1} D_{i j}^{m+1}\right)$

第五步：估计模糊熵

$\operatorname{FuzzyEn}(m, r)=-\ln \left[\Psi^{(m+1)}(r) / \Psi^{(m)}(r)\right]$

给定一个时间序列长度，一个容忍度，计算得到这个数值。

此模型中的引用目的

引入模糊熵来衡量时间序列的复杂度，如果生成的和实际的复杂度数值相差不大，则可以一定程度上说明。

为什么用模糊熵而

模糊熵在采样长度上具有更高的独立性
模糊熵的偏差更小，因其更强的相对稳定性
参数
m指代了分析的颗粒度，m越大，分析得也越粗糙。

多尺度的引入

这里的尺度意味着：不同的数据颗粒度，颗粒度越大，单次采样时序数据越多。
粗粒度向量：

$y_\tau(i)=\frac{1}{\tau} \sum_{j=(i-1) \tau+k}^{i \tau+k-1} x(j)$

$\tau$ - (scale factor)尺度系数，调整$\tau$的大小就可以调整粒度的大小，从而一定程度上压缩时序数据，同时这里的$1 \leq k \leq \tau$。这个时候，利用上面的公式进行扩展，将所有可能的$\tau$都遍历一遍，列写各种粒度下的向量：

$\mathbf{y}_k^{(\tau)}=\left\{y_{k, i}^{(\tau)}, i=1,2, \ldots, N / \tau\right\}$

再增加对k值的遍历，推演得到复合多尺度模糊熵

$\operatorname{CMFE}(\tau, m, r)=\frac{1}{\tau} \sum_{k=1}^\tau\left(\operatorname{FuzzyEn}\left(\mathbf{y}_k^{(\tau)}, m, r\right)\right)$

参数对齐

$m=2$
$\zeta = 2$
$r = 0.15\sigma$，其中$\sigma$是对应时间序列数据的标准差。

Match Energy匹配能

引入目的

分析行为的复杂度

优点

高速
适用于较小尺度的数据集
对数据复杂性的分类效果非常好

模型

给定一个时序数据$\mathbf{X}=\left\{x_1, x_2, \ldots x_T\right\}$，长度为$T$
先利用Differential Dynamical Quantization方法进行时序数据的归一化。

第一步：排序

去除时间因素，按照数据的数值大小进行排序
参数：$\mathbf{X}$
输出：
升序：$\mathbf{P}=\left\{p_1, p_2, \ldots p_T\right\}$
降序：$\mathbf{Q}=\left\{q_1, q_2, \ldots q_T\right\}$

第二步：构建嵌入向量

超参数：

嵌入(embedding)维度 $m$
延时系数 $\tau$，其中$1 \leq \tau \leq m$
参数： $\mathbf{X}, \mathbf{P}, \mathbf{Q}$
输出：
$\mathbf{x}_i=\left\{x_{i \tau}, x_{i \tau+1}, \ldots, x_{i \tau+(m-1)}\right\}$
$\mathbf{p}_i = \left\{p_{i \tau}, p_{i \tau+1}, \ldots, p_{i \tau+(m-1)}\right\}$
$\mathbf{q}_i=\left\{q_{i \tau}, q_{i \tau+1}, \ldots, q_{i \tau+(m-1)}\right\}$

第三步：对嵌入向量排序

参数：$\mathbf{x}_i=\left\{x_{i \tau}, x_{i \tau+1}, \ldots, x_{i \tau+(m-1)}\right\}$
输出：
升序：$\mathbf{y}_i$
降序：$\mathbf{z}_i$

第四步：构建匹配坐标系

参数： 升序比较（$\mathbf{p}_i$ with $\mathbf{y}_i$）【匹配坐标数$m_1$】
输出：
匹配坐标系：$\mathbf{V}^{(\mathbf{1})}$
本质：向量空间

参数： 降序比较（$\mathbf{q}_i$ with $\mathbf{z}_i$）【匹配坐标数$m_1^{\prime}$】
输出：
不匹配坐标系：$\mathbf{V}^{(\mathbf{2})}$
本质：向量空间
维度：$m-m_1$

第五步：向量投影并计算能量

$E_{i-}=\sqrt{\frac{1}{m_1} \sum_{j=1}^{m_1}\left(\mathbf{x}_i^{(1)}(j)-\overline{\mathbf{x}_i^{(1)}}\right)^2}$ $E_{i+}=\sqrt{\frac{1}{m-m_1} \sum_{j=1}^{m-m_1}\left(\mathbf{x}_i^{(2)}(j)-\overline{\mathbf{x}_i^{(2)}}\right)^2}$

参数：$\mathbf{x}_i$， $\mathbf{V}^{(\mathbf{1})}$， $\mathbf{V}^{(\mathbf{2})}$
输出：
在升序匹配坐标系的投影：$\mathbf{x}_i^{(1)}$
在降序匹配坐标系的投影：$\mathbf{x}_i^{(2)}$

参数：$\mathbf{x}_i^{(1)}$， $\mathbf{x}_i^{(2)}$, $\mathbf{x}_i^{(1)}$的均值 $\overline{\mathbf{x}_i^{(1)}}$, $\mathbf{x}_i^{(2)}$的均值 $\overline{\mathbf{x}_i^{(2)}}$
输出：
升序匹配能：$E_{i-}$
降序匹配能：$E_{i+}$

第六步：将排序后的嵌入向量也进行第五步的计算，并且计算它们之间的距离

$d_{i-}=\frac{1}{2}\left(d_{i-}^{(p)}+d_{i-}^{(q)}\right)$ $d_{i-}^{(p)}=\sqrt{\frac{1}{m_1} \sum_{j=1}^{m_1}\left(\mathbf{y}_i^{(1)}(j)-\mathbf{p}_i^{(1)}(j)\right)^2} \text { and } d_{i-}^{(q)}=\sqrt{\frac{1}{m_1^{\prime}} \sum_{j=1}^{m_1^{\prime}}\left(\mathbf{z}_i^{(1)}(j)-\mathbf{q}_i^{(1)}(j)\right)^2}$ $d_{i+}=\frac{1}{2}\left(d_{i+}^{(p)}+d_{i+}^{(q)}\right)$ $d_{i+}^{(p)}=\sqrt{\frac{1}{m-m_1} \sum_{j=1}^{m-m_1}\left(\mathbf{y}_i^{(2)}(j)-\mathbf{p}_i^{(2)}(j)\right)^2} \text { and } d_{i+}^{(q)}=\sqrt{\frac{1}{m-m_1^{\prime}} \sum_{j=1}^{m-m_1^{\prime}}\left(\mathbf{z}_i^{(2)}(j)-\mathbf{q}_i^{(2)}(j)\right)^2}$

第七步：利用上述数据构筑局部能量模型

$E_i(m)=\left\{\begin{array}{cc} E_{i-}+d_{i-}=0, & \text { if } m_1+m_1^{\prime} \neq 0 \\ E_{i+}+d_{i+}, & \text { if } m_1+m_1^{\prime}=0 \end{array}\right.$

第八步：将所有的局部能量取均值得到匹配能ME

$\mathrm{ME}=\frac{1}{T} \sum_{i=0}^{T-1} E_i(m)$

问题背景

关键引用

随机接触传染模型

模型假设：

模型过程

参数对齐

迁移到价格模型

假设

模型组件名称缩写

时间

价格

参与者

机制

收益

智能体的决策聚合

价格

金融市场的价格

参数对齐

Composite Multiscale Fuzzy Entropy复合多尺度模糊熵

引入目的

模型

模糊熵

计算过程

此模型中的引用目的

为什么用模糊熵而

参数

多尺度的引入

参数对齐

Match Energy匹配能

引入目的

优点

模型

第一步：排序

第二步： 构建嵌入向量

第三步：对嵌入向量排序

第四步：构建匹配坐标系

第五步：向量投影并计算能量

第六步：将排序后的嵌入向量也进行第五步的计算，并且计算它们之间的距离

第七步：利用上述数据构筑局部能量模型

第八步：将所有的局部能量取均值得到匹配能ME

第二步：构建嵌入向量